Bentuk Kuadrat Yang Unik
Pola-pola yang dihasilkan dari hasil mengkuadratkan bilangan 1, 11, 111, dst memiliki bentuk yang menarik
1^2 = 1
11^2 = 121
111^2 = 12321
1111^2 = 1234321
11111^2 = 123454321
111111^2 = 12345654321
1111111^2 = 1234567654321
11111111^2 = 123456787654321
111111111^2 = 12345678987654321
Bentuk pengkuadratan bilangan di atas mirip dengan bentuk pengkuadratan aljabar sebagai berikut
(a+b)^2 = a^2 + 2a + 1
(a^2+a+1)^2 = a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 2a + 1
(a^3+a^2+a+1)^2 = a^6 + 2a^5 + 3a^4 + 4a^3 + 3a^2 + 2a + 1
dst
Profil AGMI Banten
- Agus Setija Adi
- Jika aku bisa berbuat untuk mereka...meski hanya sedikit, aku akan sangat gembira...apalagi jika mereka terlihat bahagia. Bantu dan arahkan aku, bila ku khilaf atau pun terlena.
CARA KREATIF : MENYELESAIAKAN PERSAMAAN KUADRAT
Tahukah Anda, bahwa untuk menyelesaikan persoalan matematika diperlukan SUGESTI DIRI berupa keyakinan plus ketenangan emosi.
1. Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 - 5x - 3 = 0, berapakah nilai dari 4x^2 - 10x + 7 ?
Penyelesaian :
2x^2 - 5x - 3 = 0
2x^2 - 5x = 3
4x^2 - 10x = 6
4x^2 - 10x + 7 = 6 + 7
4x^2 - 10x + 7 = 13
Jawab : 13
2. Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x + 1 = 0, berapakah nilai dari x^9 + 11 ?
Penyelesaian :
x^2 - x + 1 = 0
x^2 = x - 1
---------------- kalikan dengan (x)
x^3 = x^2 - x
x^3 = (x - 1) - x
x^3 = -1
x^9 = (x^3)^3 = (-1)^3 = -1
Jadi : x^9 + 11 = -1 + 11 = 10
1. Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 - 5x - 3 = 0, berapakah nilai dari 4x^2 - 10x + 7 ?
Penyelesaian :
2x^2 - 5x - 3 = 0
2x^2 - 5x = 3
4x^2 - 10x = 6
4x^2 - 10x + 7 = 6 + 7
4x^2 - 10x + 7 = 13
Jawab : 13
2. Jika x1 dan x2 akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x + 1 = 0, berapakah nilai dari x^9 + 11 ?
Penyelesaian :
x^2 - x + 1 = 0
x^2 = x - 1
---------------- kalikan dengan (x)
x^3 = x^2 - x
x^3 = (x - 1) - x
x^3 = -1
x^9 = (x^3)^3 = (-1)^3 = -1
Jadi : x^9 + 11 = -1 + 11 = 10
Artikel MATEMATIKA
Khazanah Matematika
Matematika seringkali dihubungkan dengan pola teratur, misalnya pola-pola yang tunduk pada rumus atau persamaan tertentu. Apakah matematika mungkin mengandung pola acak ? Tentu saja tidak mungkin. Hal yang mendekati keacakan ini adalah pseodorandom, yaitu cara untuk menyembunyikan langkah yang kita masukan dalam sebuah program. Implikasinya, kita akan sulit untuk mencari sebuah deret dalam bilangan random, dan juga menentukan seberapa acak deret tersebut. Bahkan, salah satu fungsi pembangkit bilangan random yang paling populer berasal dari fungsi yang sederhana.
Dalam beberapa program seperti Excel ataupun Maple, keacakan (randomness) bisa dibangkitkan dengan menggunakan formula tertentu. Dalam geometri, sebuah pembuktian pada umumnya melibatkan persamaan-persamaan. Ilustrasi digunakan sebagai pembuka untuk pembuktian formal menggunakan bahasa simbol. Hal ini membuat kita bertanya-tanya, mana yang muncul lebih dulu, persamaan mampu menciptakan bentuk visual yang indah, visual mampu menghasilkan bentuk persamaan yang indah, atau relasi antara kedua proposisi tersebut setara ?
Karir apa yang bisa ditempuh oleh seorang sarjana matematika? Pilihannya bisa beragam. Andaikan lulusan matematika dipandang sebagai himpunan yang homogen, maka perjalanan hidup usai memperoleh gelar S.Si pun tak lazim. Karena matematika memiliki akses yang langsung dan sangat kuat terhadap bidang-bidang disiplin ilmu alam, teknik, sosil budaya dan ekonomi. Pemekaran matematka dalam system analisa data statistik social atau pemakaian differensial dalam ilmu ekonomi contohnya, sangat tergantung pada kinerja pemahaman logika. Terlebih lagi dalam ilmu alam dan teknik, matematika sudah pasti menjadi pilar utama. Begitupula dalam pemodelan yang meski telah menggunakan program, masih menyisakan beberapa persamaan matematika. Tapi apakah seorang matematikawan atau lulusan matematika menjadi ‘unggul’ karena kemampuannya berhitung dan bermain symbol ? Dalam beberapa aspek jawabannya ya. Namun dalam kehidupan nyata, simbol tak hanya muncul dalam notasi khusus tetapi juga dalam kejelian melihat pola. Seorang guru yang biasa mengoreksi pekerjaan rumah, dengan segera bisa melihat pola-pola ketika seorang siswa menyalin pekerjaan temannya. Dalam kasus yang lain melihat celah-celah pemecahan masalah yang tersembunyi diantara kekacauan yang ada. Kalau dalam pelajaran analisis bilangan real, sebuah himpunan bilangan bisa dikenali dari karakternya, maka dalam kehidupan nyata objeknya tak lagi deret ataupun anggota himpunan melainkan manusia dan lingkungan, meski sama-sama memiliki pola.
Pernahkah Anda Berpikir bahwa
Semua buku yang ditulis dalam bahasa Inggris modern hanya terdiri dari pola-pola yang dibentuk oleh 26 huruf
Semua lukisan yang ada dibuat hanya dengan pola-pola dari tiga warna primer
Semua musik yang ada hanyalah pola-pola yang terdiri dari 12 nada
Semua kalimat matematika yang ada hanya terdiri dari 10 simbol
Semua perhitungan yang dilakukan komputer digital hanya dibentuk dari pola-pola yang terdiri dari dua komponen
Oleh karena itu
Setiap kali kita membicarakan sesuatu sebagai “hal baru”, kita sebenarnya sedang berbicara tentang pola asli dari komponen-komponen yang telah ada.
Matematika seringkali dihubungkan dengan pola teratur, misalnya pola-pola yang tunduk pada rumus atau persamaan tertentu. Apakah matematika mungkin mengandung pola acak ? Tentu saja tidak mungkin. Hal yang mendekati keacakan ini adalah pseodorandom, yaitu cara untuk menyembunyikan langkah yang kita masukan dalam sebuah program. Implikasinya, kita akan sulit untuk mencari sebuah deret dalam bilangan random, dan juga menentukan seberapa acak deret tersebut. Bahkan, salah satu fungsi pembangkit bilangan random yang paling populer berasal dari fungsi yang sederhana.
Dalam beberapa program seperti Excel ataupun Maple, keacakan (randomness) bisa dibangkitkan dengan menggunakan formula tertentu. Dalam geometri, sebuah pembuktian pada umumnya melibatkan persamaan-persamaan. Ilustrasi digunakan sebagai pembuka untuk pembuktian formal menggunakan bahasa simbol. Hal ini membuat kita bertanya-tanya, mana yang muncul lebih dulu, persamaan mampu menciptakan bentuk visual yang indah, visual mampu menghasilkan bentuk persamaan yang indah, atau relasi antara kedua proposisi tersebut setara ?
Karir apa yang bisa ditempuh oleh seorang sarjana matematika? Pilihannya bisa beragam. Andaikan lulusan matematika dipandang sebagai himpunan yang homogen, maka perjalanan hidup usai memperoleh gelar S.Si pun tak lazim. Karena matematika memiliki akses yang langsung dan sangat kuat terhadap bidang-bidang disiplin ilmu alam, teknik, sosil budaya dan ekonomi. Pemekaran matematka dalam system analisa data statistik social atau pemakaian differensial dalam ilmu ekonomi contohnya, sangat tergantung pada kinerja pemahaman logika. Terlebih lagi dalam ilmu alam dan teknik, matematika sudah pasti menjadi pilar utama. Begitupula dalam pemodelan yang meski telah menggunakan program, masih menyisakan beberapa persamaan matematika. Tapi apakah seorang matematikawan atau lulusan matematika menjadi ‘unggul’ karena kemampuannya berhitung dan bermain symbol ? Dalam beberapa aspek jawabannya ya. Namun dalam kehidupan nyata, simbol tak hanya muncul dalam notasi khusus tetapi juga dalam kejelian melihat pola. Seorang guru yang biasa mengoreksi pekerjaan rumah, dengan segera bisa melihat pola-pola ketika seorang siswa menyalin pekerjaan temannya. Dalam kasus yang lain melihat celah-celah pemecahan masalah yang tersembunyi diantara kekacauan yang ada. Kalau dalam pelajaran analisis bilangan real, sebuah himpunan bilangan bisa dikenali dari karakternya, maka dalam kehidupan nyata objeknya tak lagi deret ataupun anggota himpunan melainkan manusia dan lingkungan, meski sama-sama memiliki pola.
Pernahkah Anda Berpikir bahwa
Semua buku yang ditulis dalam bahasa Inggris modern hanya terdiri dari pola-pola yang dibentuk oleh 26 huruf
Semua lukisan yang ada dibuat hanya dengan pola-pola dari tiga warna primer
Semua musik yang ada hanyalah pola-pola yang terdiri dari 12 nada
Semua kalimat matematika yang ada hanya terdiri dari 10 simbol
Semua perhitungan yang dilakukan komputer digital hanya dibentuk dari pola-pola yang terdiri dari dua komponen
Oleh karena itu
Setiap kali kita membicarakan sesuatu sebagai “hal baru”, kita sebenarnya sedang berbicara tentang pola asli dari komponen-komponen yang telah ada.
KEUNIKAN ANGKA 6
bilangan 666...666
keunikan-keunikan angka 6 :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111
Sekarang coba ilustrasikan jawaban untuk soal berikut ini.
1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 2 dan 1 masing-masing 2009 digit)
Tentukan nilai n
keunikan-keunikan angka 6 :
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 2 + 3 + .......+ 66 = 2211
1 + 2 + 3 + .......+ 666 = 222111
1 + 2 + 3 + .......+ 6666 = 22221111
1 + 2 + 3 + .......+ 66666 = 2222211111
1 + 2 + 3 + .......+ 666666 = 222222111111
Sekarang coba ilustrasikan jawaban untuk soal berikut ini.
1 + 2 + 3 + ...+ n = 222...222111...111 (banyak angka 2 dan 1 masing-masing 2009 digit)
Tentukan nilai n
PERSAMAAN KUADRAT
Penguraian bentuk kuadrat
Seperti kita ketahui bahwa jika kita menguraikan bentuk kuadrat (a+b)^2 bisa kita peroleh sebagai berikut
(a + b)^2 = (a + b)(a + b)= a(a + b) + b(a + b)
= a^2 + ab + ba + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2
Jika kita menguraikan bentuk (a - b)^2 maka bisa kita peroleh sebagai berikut
(a - b)^2 = (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a^2 - ab - ba + b^2
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2
Pembuktian seperti di atas merupakan pembuktian dengan aljabar. Kita bisa juga membuktikan bentuk di atas dengan geometri, caranya adalah sebagai berikut
Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Sedangakan (a - b)^2 bisa kita dapat dari gambar geometri sebagai berikut
Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Dengan cara ini kita bisa menguraikan (a + b+ c)^2 dengan memakai gambar geometri sehingga diperoleh
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
atau kita bisa juga menguraikan (a + b + c + d)^2 dengan memakai geometri sehingga diperoleh
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Bahkan kita bisa juga menguraikan (a + b)^3 dengan menggambar kubus sehingga diperoleh
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Seperti kita ketahui bahwa jika kita menguraikan bentuk kuadrat (a+b)^2 bisa kita peroleh sebagai berikut
(a + b)^2 = (a + b)(a + b)= a(a + b) + b(a + b)
= a^2 + ab + ba + b^2
= a^2 + ab + ab + b^2
= a^2 + 2ab + b^2
Jika kita menguraikan bentuk (a - b)^2 maka bisa kita peroleh sebagai berikut
(a - b)^2 = (a - b)(a - b)
= a(a - b) - b(a - b)
= a^2 - ab - ba + b^2
= a^2 - ab - ab + b^2
= a^2 - 2ab + b^2
Pembuktian seperti di atas merupakan pembuktian dengan aljabar. Kita bisa juga membuktikan bentuk di atas dengan geometri, caranya adalah sebagai berikut
Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Sedangakan (a - b)^2 bisa kita dapat dari gambar geometri sebagai berikut
Dari bentuk di atas jelas terlihat bahwa
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Dengan cara ini kita bisa menguraikan (a + b+ c)^2 dengan memakai gambar geometri sehingga diperoleh
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc
atau kita bisa juga menguraikan (a + b + c + d)^2 dengan memakai geometri sehingga diperoleh
(a + b + c + d)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
Bahkan kita bisa juga menguraikan (a + b)^3 dengan menggambar kubus sehingga diperoleh
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Langganan:
Postingan (Atom)